การวัดระยะทางบนพื้นราบ

เราทราบกันดีว่า ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนพื้นราบคือ ความยาวของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองนั้น ดังนั้น การหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดนี้ เราอาจใช้เส้นเชือกหรือลวดขึงให้ตึงระหว่างสองจุดนั้น แล้วนำไปตรวจสอบความยาวกับไม้เมตร หรือไม้ฟุต ก็จะทราบความยาวที่ต้องการ ในทางช่าง เขาใช้เส้นลวดที่แบ่งสเกลความยาวแล้ววัดระยะทางได้ทันที ถ้าระยะทางยาวกว่าเส้นลวดที่วัด ก็จะต้องแบ่งความยาวออกเป็นช่วงๆ วัดความยาวแต่ละช่วยแล้วนำมารวมกัน

ในการวัดระยะทางจริงๆ ระหว่างจุดสองจุดนี้ บางครั้งเราไม่อาจจะใช้เส้นลวดขึงให้ผ่านจุดทั้งสองได้ เช่น การวัดความกว้างของแม่น้ำ หรือมีสิ่งขวางกั้นระหว่างจุดทั้งสองนั้น กรณีเช่นนี้เราต้องวัดระยะโดยอ้อม และ ใช้หลักวิชาคณิตศาสตร์ ช่วยคำนวณระยะทางที่ต้องการออกมาอีกครั้งหนึ่ง เช่น เราทราบว่า สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีมุมอีกสองมุมเท่ากัน คือ เท่ากับ 45 องศา ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมนั้นจะยาวเท่ากันพอดี เราเรียกสามเหลี่ยมชนิดนี้ว่า สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

เราอาจใช้หลักวิชาเรขาคณิตในการคำนวณหาความสูง ชาวกรีก และ ชาวอียิปต์โบราณได้ใช้วิธีการนี้มานานหลายพันปีแล้ว หลักการของวิธีนี้ใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามเท่ากันสองรูปย่อมมีด้านทั้งสามเป็นสัดส่วนกัน และ กัน เราเรียกสามเหลี่ยมทั้งสองว่าเป็น สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

เมื่อวัดความสูงของต้นไม้ เช่น BC แทนความสูงของต้นไม้ วัดระยะจากโคนไม้คือ B ไปยังจุด A จากจุด D ซึ่งอยู่ระหว่าง A และ B ใช้ไม้ที่ทราบขนาดความสูงแล้ววางให้ตั้งฉากกับพื้นดิน และ เล็งจากจุด A ให้จุด A จุด E และ จุด C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ BC/DE = AB/AD หรือความสูง BC = (AB.DE)/AD

เมื่อวัดระยะ AD ก็จะหาความสูง BC ได้ทันที และถ้าวัดระยะ AD เท่ากับความสูง DE ความสูงของต้นไม้ก็จะเท่ากับระยะ AB ได้ทันที และถ้าวัดระยะ AD เท่ากับความสูง DE ความสูงของต้นไม้ก็จะเท่ากับระยะ AB ด้วย

เราอาจใช้เงาของวัตถุที่เกิดจากแสงอาทิตย์วัดความสูงก็ได้ เช่น ให้ AB เป็นความยาวของเงาต้นไม้ซึ่งเกิดจากดวงอาทิตย์ ตรงจุด A ซึ่งเป็นตำแหน่งปลายของเงาต้นไม้ เอาไม้ AD ซึ่งทราบขนาดความยาวแล้วมาปักตั้งฉากกับพื้นดิน เงาของ AD จะทอดยาวออกไปถึงจุด E วัดระยะ AB และ AE โดยอาศัยคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ BC/AD = BA/AE ดังนั้น BC=(AD.AB)/AE

วิธีการสร้างเครื่องมือวัดความสูงแบบง่ายๆ กระทำได้ดังนี้ หากระดาษแข็ง หรือไม้แผ่นบางๆ ขนาดกว้าง 10 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว แบ่งสเกลทางด้านกว้างตั้งแต่ 0 ถึง 10 จะแบ่งสเกลของทุกหนึ่งนิ้วให้ละเอียดออกไปเป็น 10 ช่วงเล็กๆ เท่ากันทั้งหมดก็ได้ใช้ท่อนไม้ขนาดกว้าง 1 นิ้ว หนา 1 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว ติดที่ขอบบนของกระดาษแข็งให้แน่น ส่วนของกระดาษแข็งที่อยู่ใต้ท่อนไม้จะเหลือกว้าง 10 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว เอาด้ายถ่วงด้วยน้ำหนักพอสมควรมาผูกที่ปลายท่อนไม้ทางด้านขวามือ เมื่อวางท่อนไม้ขนานกับแนวระดับราบ เส้นด้ายจะอยู่ในตำแหน่งของเลข 0 ของสเกลข้างล่าง ติดห่วงเล็กๆ สองห่วงไว้บนท่อนไม้ให้ห่างจากกันประมาณ 9 นิ้ว ห่วงทั้งสองนี้ใช้สำหรับเล็งไปยังจุดที่ต้องการ เช่น ถ้าจะวัดความสูงของ AB ก็ยกแผ่นไม้นี้เล็งไปยังจุด A ซึ่งเป็นยอดสูงสุด อ่านตัวเลขที่เส้นดิ่งผ่านขอบล่างของแผ่นไม้ สมมุติว่าได้ n หน่วย วัดระยะจากจุดที่สังเกตไปยัง AB สมมุติว่าได้ s เมตร เอา n และ s คูณกันแล้วหารด้วย 10  แล้วบวกด้วยระยะที่จุดสังเกตอยู่จากพื้นดิน สมมุติว่าเท่ากับ a เมตร ดังนั้นจะได้ความสูงของ AB คือ h จากสูตร

h = a + (n x s)/10 
ถ้า a = 1.6 เมตร n = 3 หน่วย s = 30 หน่วย 
จะได้ความสูง h = 1.6 + (3 x 30)/10 
                        = 10.6 เมตร

เราอาจใช้สูตรในวิชาตรีโกณมิติหาระยะทาง และ ความสูง โดยอาศัยด้าน และ มุมของรูปสามเหลี่ยม เช่น เราต้องการวัดระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้าม คือ A และ B เป็นจุดสองจุดบนฝั่งแม่น้ำฝั่งตรงกันข้าม ที่เราต้องการวัดระยะทาง สมมุติว่าระยะทาง AB เท่า กับ x เมตร C และ D เป็นจุด ซึ่งเราสามารถวัดระยะทางได้ s เมตร บนฝั่ง ซึ่งเรายืนอยู่ วัดมุม DCB ได้มุม a วัดมุม BCA ได้ มุม a' วัดมุม CDA และ ADB ได้มุม B และ B' ตามลำดับ โดยใช้กฎเกณฑ์ในวิชาตรีโกณมิติเราสามารถแสดงได้ว่า

AC = (a sin B) / sin (a+a'+B) 
และ BC = (a sin (B+B')) / sin (a+B+B') 
และหาความยาว AB ได้จากสูตร 
x^2 = AC^2 + BC^2 - 2AB.BC cos a'

จากตารางแสดงค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราก็สามารถคำนวณหาระยะทาง AB ได้ทันที

เราอาจจะประดิษฐ์เครื่องวัดมุมแบบง่ายๆ ได้ดังนี้ ใช้กระดาษแข็งหรือไม้อัดก็ได้มาตัดเป็นแผ่นวงกลม รัศมีประมาณ 3 นิ้ว เขียนวงกลมศูนย์กลางร่วมกันกับวงแรกใช้รัศมี 2(1/2) นิ้ว บนเส้นรอบวงกลมเล็กแบ่งออกเป็น 36 ส่วนเท่าๆ กันแต่ละส่วนจะปิดมุมที่ศูนย์กลาง 10 องศาเท่ากัน ถ้าต้องการให้ละเอียดมากขึ้นก็ใช้ไม้บรรทัดที่มีการแบ่งมุมเป็นองศา ซึ่งเรียกว่า ไม้โพรแทรกเตอร์แบ่งสเกลบนวงกลมเล็กให้ครบ 360 องศาเลยก็ได้ ใช้เส้นลวดหรือเข็มเล็กๆ ที่สามารถเจาะรูที่ก้นได้สองอัน ใช้เข็มหมุดตรึงก้นเข็มทั้งสองไว้ตรงจุดศูนย์กลางวงกลม และ ให้เข็มทั้งสองสามารถหมุนไปได้รอบๆ แบบเข็มนาฬิกา เมื่อจะวัดมุมที่ได้ก็เล็งจากหมุดตรงกลาง ให้เส้นลวดทั้งสองอยู่ในแนวที่ต้องการก็จะสามารถอ่านมุมระหว่างแนวทั้งสองได้ทันที